Volver a Guía
Ir al curso
@Benjamin Cuando reescribis la función, para desarrollar $(2-x)^2$ usas la fórmula para el cuadrado de un binomio, te acordás?
0
Responder
ahah claro claro
0
Responder
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
k) $f(x) = x^2 (2 - x)^2$
k) $f(x) = x^2 (2 - x)^2$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
Reportar problema
Yo acá reescribiría esta función así, para que nos quede como un simple polinomio y va a ser todo mucho más fácil:
$f(x)= x^2 (2-x)^2 = x^2 (4 -4x+x^2) = 4x^2 - 4x^3+x^4$
Todas formas equivalentes de escribir a $f$, pero creo que el análisis va a ser más fácil si usamos esta última opción. Arrancamos:
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando $x$ tiende a $ \pm \infty$
$\lim_{x \to +\infty} 4x^2 - 4x^3+x^4 = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} 4x^2 - 4x^3+x^4 = +\infty$
Por lo tanto, $f$ no tiene asíntota horizontal.
3) Calculamos $f'(x)$:
\( f'(x) = 8x - 12x^2 + 4x^3 \)
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$8x - 12x^2 + 4x^3 = 0$
Saco factor común $x$
$x \cdot (8 - 12x + 4x^2) = 0$
Por lo tanto, las soluciones son $x=0$ y las raíces de esa cuadrática entre paréntesis, $x=1$ y $x=2$.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < 0 \)
b) \( 0 < x < 1 \)
c) \( 1 < x < 2 \)
d) \( x > 2 \)
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 0$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
b) Para \( 0 < x < 1 \)
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
c) Para \( 1 < x < 2 \)
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
d) Para $x > 2$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar
tu
comentario.
Flor
PROFE
21 de mayo 19:52
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Usas eso y queda:
$(2-x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2$
0
Responder
Benjamin
22 de mayo 8:34
0
Responder